L’escalier de Penrose est une figure impossible publiée en 1958 par Lionel et Roger Penrose : quatre volées reliées par quatre virages à angle droit, qui semblent monter sans fin et ramènent pourtant au point de départ. Le dessin trompe parce que chaque coin respecte la perspective, alors que l’ensemble viole une contrainte élémentaire : une boucle fermée ne peut pas gagner de hauteur. Les sections suivantes chiffrent cette contrainte et montrent pourquoi le système visuel la laisse passer. Elles expliquent aussi comment on bâtit une maquette réelle qui ne trompe que depuis un seul point, et remettent dans l’ordre la chronologie Reutersvärd, Penrose, Escher.
En bref
- 1937 : Oscar Reutersvärd dessine un premier escalier impossible. 1958 : les Penrose le publient. 1960 : Escher en tire la lithographie Montée et descente.
- Douze marches de 17 cm représentent 2,04 m de dénivelé qu’aucun circuit fermé cohérent ne peut absorber.
- Une maquette réelle ne fonctionne que pour un œil ou un objectif placé au point exact : un pas de côté sépare la dernière marche de la première.
- Équivalent sonore : la gamme de Shepard, faite de sons superposés à l’octave.
Qu’est-ce que l’escalier de Penrose ?
L’escalier de Penrose est la représentation en deux dimensions d’un escalier à quatre virages à angle droit. Il semble monter ou descendre indéfiniment et revient pourtant à son point de départ. Suivez-le dans le sens des aiguilles d’une montre : vous descendez sans jamais atteindre le bas. Dans l’autre sens, vous montez sans jamais arriver en haut.
On parle aussi d’escalier infini, d’escalier sans fin ou d’escalier d’Escher. L’Espace des sciences le nomme « escalier d’Escher-Penrose » et le classe parmi les figures impossibles : un dessin dont chaque partie évoque un volume crédible, mais qu’aucun objet tridimensionnel ne peut reproduire tel quel.
La figure appartient à la même famille que le triangle de Penrose, dont elle dérive directement. Les deux reposent sur le même ressort : des fragments cohérents assemblés en une totalité contradictoire, ce paradoxe visuel que le regard accepte avant que le raisonnement ne le rejette.
Comment fonctionne l’illusion de l’escalier infini
Quatre virages à angle droit et des hauteurs impossibles à raccorder
Attribuez une altitude à chaque marche. Dans un escalier intérieur courant, la hauteur de marche se situe entre 17 et 20 cm et le giron entre 27 et 32 cm. En parcourant la boucle, chaque marche ajoute une hauteur h positive. Après n marches, vous retrouvez la marche de départ, qui devrait alors se trouver n × h plus haut qu’elle-même. Avec douze marches de 17 cm, l’écart atteint 2,04 m.
En termes mathématiques, il n’existe aucune fonction « altitude » à valeur unique sur un circuit fermé dont tous les incréments sont positifs. La somme des dénivelés sur la boucle doit valoir zéro, et elle ne le peut pas.
Le dessin masque ce défaut parce que la contradiction n’existe qu’à l’échelle globale. Chaque volée, prise seule, constitue un fragment d’escalier parfaitement dessiné en projection isométrique. Cette projection ne possède ni point de fuite ni indice de distance : un point plus haut et un point plus proche de l’observateur peuvent occuper exactement la même position sur la feuille. Roger Penrose a d’ailleurs formalisé plus tard ce type d’incohérence locale-globale avec un outil de topologie algébrique, la cohomologie.
Pourquoi notre cerveau accepte une figure impossible
Le système visuel reconstruit la profondeur à partir d’indices locaux : jonctions de traits en L, en T ou en Y, arêtes parallèles, ombrage des contremarches. Il suppose que les angles sont droits et les marches horizontales, l’hypothèse la plus probable dans un environnement bâti. Face à un dessin plat, il retient l’interprétation tridimensionnelle la plus simple.
L’exploration du regard se fait par saccades, et la vision nette ne couvre qu’une petite zone à la fois. Le cerveau valide donc la figure portion par portion. Chaque portion passe le test, et aucune étape de traitement ne vérifie la fermeture de la boucle.
Cette illusion diffère des figures ambiguës comme le cube de Necker, qui bascule entre deux lectures. Ici, l’interprétation reste unique et stable. Savoir que le dessin est faux ne supprime pas l’impression de pente : la perception de la profondeur fonctionne en grande partie indépendamment du raisonnement conscient, qui signale seulement que « quelque chose cloche ».
Qui a inventé l’escalier sans fin : Reutersvärd, les Penrose et Escher
L’artiste suédois Oscar Reutersvärd dessine un triangle impossible fait de cubes en 1934, puis un escalier impossible en 1937. Les Penrose ignorent ces travaux.
Roger Penrose, mathématicien, conçoit le triangle. Son père Lionel Penrose, psychiatre et généticien, en dérive l’escalier. Leur article commun, « Impossible objects: a special type of visual illusion », paraît en 1958 dans le British Journal of Psychology. Les deux auteurs envoient le texte à Escher.
| Année | Auteur | Contribution |
|---|---|---|
| 1934 | Oscar Reutersvärd | Premier triangle impossible |
| 1937 | Oscar Reutersvärd | Premier escalier impossible |
| 1958 | Lionel et Roger Penrose | Publication du triangle et de l’escalier |
| 1960 | M. C. Escher | Lithographie Klimmen en dalen |
| 1961 | M. C. Escher | Waterval, tirée du triangle |
Escher popularise la figure avec Klimmen en dalen (Montée et descente), où des moines parcourent l’escalier au sommet d’un bâtiment. Il n’en est donc pas l’inventeur.
Peut-on construire un escalier de Penrose en vrai ?
Oui, à condition d’accepter un vrai escalier en spirale qui donne l’illusion de se refermer depuis un seul point de vue. La maquette publiée par apprendre-a-dessiner.org compte douze marches : la douzième se trouve 4 m au-dessus de la première, et elle a été avancée vers l’observateur juste assez pour se projeter pile devant elle.
Le principe tient à la projection isométrique. Monter d’une unité déplace un point vers le haut de l’image. Avancer d’une unité vers l’observateur, en largeur et en profondeur à la fois, le déplace d’autant vers le bas. Les deux mouvements s’annulent. Le bord de la dernière marche et celui de la première sont alors deux coins opposés d’un cube, qui se superposent au centre de l’hexagone que forme ce cube vu sous cet angle.
En modélisant la figure dans un logiciel de CAO, je retombe toujours sur la même conséquence : les marches doivent être beaucoup plus longues que hautes. Toute la hauteur gagnée doit être « rendue » par une avancée horizontale, ce qui éloigne la géométrie des proportions usuelles d’un escalier intérieur. Avec des marches normales, la boucle ne se referme jamais.
Le point de vue unique impose aussi une vision monoculaire. Avec deux yeux, la disparité binoculaire révèle immédiatement l’écart de profondeur entre les deux extrémités. Les maquettes se présentent donc derrière un œilleton ou se photographient avec un seul objectif. Dès que l’observateur se déplace, la dernière marche se détache de la première.
L’escalier impossible dans la culture, d’Escher à Inception
Après Escher, l’escalier sort des revues de psychologie pour entrer dans le cinéma et la musique.
- Inception (Christopher Nolan, 2010) : dans un rêve partagé, Arthur montre à Ariane un escalier de Penrose, puis s’en sert pour piéger un garde qui tombe dans le vide.
- Angles (The Strokes, 2011) : la pochette reprend la figure en la poussant à dix virages à angle droit.
- Super Mario 64 (Nintendo, 1996) : l’escalier sans fin qui mène à Bowser s’accompagne d’une musique bâtie sur le principe de Shepard.
La gamme de Shepard, un escalier infini pour les oreilles
La gamme de Shepard, décrite par le psychologue Roger Shepard en 1964, superpose plusieurs sons séparés chacun d’une octave. Une enveloppe de volume en cloche filtre l’ensemble : les composantes du milieu du spectre sonnent fort, les plus graves et les plus aiguës deviennent presque inaudibles.
Quand toutes les composantes montent d’un demi-ton, la plus aiguë s’éteint progressivement tandis qu’une nouvelle apparaît discrètement dans le grave. Après douze demi-tons, le mélange redevient identique à celui du départ. L’oreille, elle, n’a perçu qu’une montée continue.
Le parallèle avec l’escalier est direct : l’octave joue le rôle du dénivelé caché que le dessin escamote dans sa projection. Le compositeur Jean-Claude Risset en a tiré une version continue, le glissando de Shepard-Risset. Nolan exploite ce procédé pour construire la tension sonore de The Dark Knight et de Dunkerque.
Comment dessiner un escalier de Penrose étape par étape
Prenez du papier à trame isométrique, posé à l’italienne, et appliquez la règle de compensation vue plus haut.
- Placez un point en bas, un peu à droite du milieu : c’est le coin avant, le point le plus bas du dessin.
- Tracez le contour extérieur en quatre côtés : A monte vers la droite, B monte vers la gauche, C descend vers la gauche, D descend vers la droite.
- Donnez 5 unités à A et B, et 13 unités à C et D pour 8 contremarches. Chaque côté avant compte autant d’unités supplémentaires qu’il y a de contremarches au total.
- Répartissez deux contremarches par côté, chacune représentée par un trait vertical d’une unité vers le haut.
- Doublez le contour vers l’intérieur pour donner une largeur aux marches, puis ombrez les contremarches.
B (5 u, monte vers la gauche) /‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾\ A (5 u) / vide \ C (13 u, descend vers la gauche) monte \ central / \____________/ D (13 u, descend vers la droite) Contremarches : 8 x 1 unité verticale Une fois ce premier tracé fermé, refaites-le avec 12 contremarches pour vérifier la règle à plus grande échelle, puis comparez votre résultat au tracé de Reutersvärd.
FAQ
Comment s’appelle l’escalier infini ?
Il s’appelle l’escalier de Penrose, du nom de Lionel et Roger Penrose, qui l’ont publié en 1958. On le désigne aussi comme escalier sans fin, escalier impossible ou escalier d’Escher, en référence à la lithographie Montée et descente de 1960. Le premier dessin de ce type revient pourtant au Suédois Oscar Reutersvärd, en 1937.
Qu’est-ce que le phénomène de l’escalier de Penrose ?
C’est une illusion d’optique : un escalier à quatre virages à angle droit semble monter ou descendre indéfiniment tout en revenant à son point de départ. Chaque volée respecte la perspective isométrique, mais la boucle exigerait un dénivelé total nul avec des marches toutes montantes. Le cerveau valide chaque fragment séparément et ne contrôle pas la fermeture du circuit.
Quelle est la théorie de Penrose ?
L’escalier ne relève d’aucune théorie physique : c’est une figure impossible étudiée en psychologie de la perception. La confusion vient de Roger Penrose, qui a mené une carrière de physicien en parallèle. Ses théorèmes sur les singularités, développés en partie avec Stephen Hawking, concernent les trous noirs et lui ont valu le prix Nobel de physique en 2020.
Ingénieur en physique appliquée de 35 ans, je combine rigueur scientifique et passion pour la communication. Rédacteur scientifique, j’aime rendre accessibles des concepts complexes à un large public.
