Deux roues dentées extérieures à denture droite, de même module m, ont un entraxe a = m × (Z1 + Z2) / 2, où Z1 et Z2 sont leurs nombres de dents. Avec un module de 2 mm, un pignon de 18 dents et une roue de 45 dents, les axes doivent être distants de 63 mm exactement. Cette relation ne couvre qu’une partie des montages réels. L’engrenage intérieur soustrait les rayons, et la denture hélicoïdale fait entrer l’angle d’hélice dans le calcul. Un carter existant impose souvent un entraxe qu’il faut atteindre par le choix des dents ou par un déport. Les tolérances d’entraxe règlent enfin directement le jeu et le bruit de l’engrènement.
En bref
- Le calcul se fait toujours sur le diamètre primitif d = m × Z, jamais sur le diamètre extérieur da = m × (Z + 2).
- Engrenage intérieur : a = m × (Z2 – Z1) / 2. Les deux roues tournent alors dans le même sens.
- Denture hélicoïdale : a = mn × (Z1 + Z2) / (2 cos β), soit 66,20 mm pour mn = 2 mm, 20 et 40 dents, β = 25°.
- Calcul inverse : Z1 + Z2 = 2a / m doit être entier, puis Z1 = 2a / (m × (1 + i)).
- Un écart d’entraxe Δa modifie le jeu normal d’environ 2 × Δa × sin α. À 20°, un écart de 0,05 mm donne 0,034 mm de jeu en plus.
Qu’est-ce que l’entraxe de deux engrenages ?
L’entraxe a est la distance entre les axes de deux roues dentées en prise, mesurée perpendiculairement aux arbres. Sur un engrenage cylindrique bien monté, les cercles primitifs des deux roues sont tangents en un point situé sur la ligne des centres, appelé point primitif. Pour un engrenage extérieur, l’entraxe vaut donc la somme des rayons primitifs, a = r1 + r2. Cette cote se reporte sur le carter, où elle fixe la position des logements de roulements. Elle se tolère et se contrôle comme n’importe quelle cote fonctionnelle.
Diamètre primitif, module et nombre de dents : les grandeurs à connaître
Le module m, exprimé en millimètres, relie toutes les dimensions de la denture. Trois relations suffisent pour le calcul d’entraxe :
- le diamètre primitif d = m × Z, et le rayon primitif r = d / 2 ;
- le pas de la denture p = π × m, c’est-à-dire la longueur d’arc entre deux dents consécutives sur le cercle primitif ;
- le diamètre extérieur da = m × (Z + 2), pour une denture conforme au profil de référence DIN 867.
Ce profil fixe un angle de pression α = 20°, une saillie égale à m et un creux de 1,25 m, soit une hauteur de dent de 2,25 m. Exemple : une roue de 45 dents au module 2 présente un diamètre primitif de 90 mm, un diamètre extérieur de 94 mm et un pas de 6,28 mm. Seul le diamètre extérieur se mesure directement au pied à coulisse. C’est pour cette raison qu’on l’injecte si souvent, à tort, dans le calcul de l’entraxe.
Pourquoi deux roues en prise ont le même module
Une dent ne peut entrer dans l’entredent de l’autre roue que si les deux dentures ont le même pas sur leurs cercles primitifs. Puisque p = π × m, l’égalité des pas impose l’égalité des modules. Prenons un pignon au module 2 (pas de 6,28 mm) face à une roue au module 2,5 (pas de 7,85 mm). L’écart atteint 1,57 mm dès la première dent, et la suivante vient buter sur un sommet. L’angle de pression doit lui aussi être commun aux deux roues. Sans cela, les profils en développante de cercle cessent d’être conjugués et le rapport instantané ne reste plus constant.
Calculer l’entraxe d’un engrenage à denture droite
La formule de base et sa démonstration
En denture droite extérieure, a = m × (Z1 + Z2) / 2. La démonstration part de la tangence des cercles primitifs : a = r1 + r2. Chaque rayon vaut la moitié du diamètre primitif, soit r = m × Z / 2. En sommant les deux rayons puis en factorisant par m / 2, on obtient la formule. La division par deux traduit simplement le passage des diamètres aux rayons, et l’oublier double l’entraxe.
Deux conséquences servent dans tous les calculs. À nombres de dents constants, l’entraxe est proportionnel au module : passer de m = 2 à m = 3 multiplie a par 1,5. La somme Z1 + Z2 = 2a / m doit en outre être un entier, et cette condition gouverne tout le calcul inverse.
Exemple chiffré pas à pas
Données : module m = 2 mm, pignon Z1 = 18 dents, roue Z2 = 45 dents.
- Diamètres primitifs : d1 = 2 × 18 = 36 mm ; d2 = 2 × 45 = 90 mm.
- Rayons primitifs : r1 = 18 mm ; r2 = 45 mm.
- Entraxe : a = 18 + 45 = 63 mm. Contrôle par la formule directe : 2 × (18 + 45) / 2 = 63 mm.
- Vérification de cohérence : d2 / d1 = 90 / 36 = 2,5, ce qui correspond bien à Z2 / Z1.
Les deux erreurs classiques se chiffrent facilement. Si l’on prend les diamètres extérieurs (40 et 94 mm), on trouve 67 mm, soit 4 mm de trop, c’est-à-dire 2 m : les dents se touchent à peine par leurs sommets. Sans la division par deux, on obtient 126 mm. Dans les dossiers de reprise de pièces que je relis, la confusion entre d et da reste de loin la plus fréquente. La raison est simple : da est la seule cote lisible sur une roue usée.
Les autres configurations : engrenage intérieur et denture hélicoïdale
Entraxe d’un engrenage intérieur
Dans un engrenage intérieur, le pignon roule à l’intérieur d’une couronne à denture interne, et les deux centres se trouvent du même côté du point primitif. L’entraxe devient alors la différence des rayons : a = m × (Z2 – Z1) / 2, où Z2 désigne la couronne. Prenons un exemple au module 1,5, avec une couronne de 72 dents et un pignon de 18 dents : d2 = 108 mm, d1 = 27 mm, d’où a = (108 – 27) / 2 = 40,5 mm. Monté en extérieur, le même couple de roues exigerait 67,5 mm.
Le pignon et la couronne tournent dans le même sens de rotation, alors qu’un engrenage extérieur inverse ce sens. Cette géométrie est directement exploitée dans le train épicycloïdal. Chaque satellite y engrène à la fois sur le planétaire et sur la couronne, avec un entraxe identique, d’où la condition Zcouronne = Zplanétaire + 2 × Zsatellite. Un écart Z2 – Z1 trop faible provoque par ailleurs des interférences entre les sommets de dents.
Entraxe d’un engrenage à denture hélicoïdale
Le module normalisé d’une roue hélicoïdale est le module normal mn, mesuré perpendiculairement à la dent et issu du calcul de résistance. Dans le plan de rotation, le pas s’allonge : le module apparent vaut mt = mn / cos β, β étant l’angle d’hélice. Le diamètre primitif s’écrit d = Z × mn / cos β, et l’entraxe devient :
a = mn × (Z1 + Z2) / (2 cos β)
Exemple avec mn = 2 mm, Z1 = 20, Z2 = 40 et β = 25° : cos 25° = 0,9063, mt = 2,207 mm, d1 = 44,14 mm, d2 = 88,27 mm et a = 66,20 mm. Les mêmes roues en denture droite donneraient 60 mm. Utiliser mn à la place de mt fausse donc ici l’entraxe de plus de 10 %, et l’écart croît avec β.
Deux roues hélicoïdales extérieures en prise ont le même angle β, avec des hélices de sens opposés. Le rapport de transmission reste égal à Z2 / Z1. L’inclinaison des dents rend l’engrènement plus progressif et moins bruyant, mais elle génère un effort axial que les roulements doivent reprendre.
Entraxe et rapport de transmission : le calcul inverse
Pour un pignon menant 1 et une roue menée 2, le rapport de transmission vaut i = Z2 / Z1 = d2 / d1 = ω1 / ω2. À entraxe fixé, ce rapport impose le partage des rayons : r1 = a / (1 + i) et r2 = a × i / (1 + i). Avec a = 63 mm et i = 2,5, on retrouve r1 = 18 mm et r2 = 45 mm, soit le couple calculé plus haut au module 2. Le rapport de réduction ne dépend pas du module. Celui-ci fixe la taille des dents, donc leur résistance, ainsi que le nombre de dents que peut porter chaque cercle primitif.
Trouver les nombres de dents à partir d’un entraxe imposé
Prenons des données courantes en bureau d’études : un carter existant, un entraxe a = 75 mm, un rapport i = 3 et un module m = 2 mm issu du calcul de résistance. La démarche se déroule ainsi :
- Somme des dents : Z1 + Z2 = 2a / m = 150 / 2 = 75.
- Pignon théorique : Z1 = 75 / (1 + 3) = 18,75, qui n’est pas un entier.
- Arbitrage entre quatre leviers.
Le premier levier consiste à arrondir. Z1 = 19 et Z2 = 56 conservent la somme de 75 et donnent i = 2,947, soit un écart de 1,8 % sur le rapport. Le deuxième levier consiste à changer de module. À m = 1,5, la somme passe à 100 et Z1 = 25, Z2 = 75 donnent un rapport exact. À m = 2,5, on obtiendrait Z1 = 15 et Z2 = 45, avec un rapport exact lui aussi, mais le pignon passerait sous la limite d’interférence de taillage. Pour α = 20°, cette limite vaut 2 / sin² α, soit environ 17 dents.
Le troisième levier consiste à passer en denture hélicoïdale. Avec mn = 2, Z1 = 18 et Z2 = 54, l’angle d’hélice absorbe l’écart : cos β = mn × (Z1 + Z2) / (2a) = 144 / 150 = 0,96, d’où β = 16,26°. Le rapport vaut alors exactement 3. Le quatrième levier, le déport, est traité dans la section suivante.
Un critère départage souvent les solutions : choisir des nombres de dents premiers entre eux (19 et 56, par exemple). Chaque dent du pignon rencontre alors toutes celles de la roue, ce qui répartit l’usure. Le couple 25/75, qui partage le facteur 25, ramène au contraire les mêmes dents en contact tous les trois tours de pignon.
Cas d’un train d’engrenages à plusieurs étages
Dans un train d’engrenages, le rapport global est le produit des rapports de chaque étage. Pour deux étages, il s’écrit i = (Z2 × Z4) / (Z1 × Z3). Le réducteur à arbres coaxiaux, où l’arbre de sortie est aligné sur l’arbre d’entrée, ajoute une contrainte : les deux étages partagent le même entraxe, d’où m1 × (Z1 + Z2) = m2 × (Z3 + Z4).
Prenons un exemple avec i = 12 et a = 60 mm. Pour le premier étage, au module 1 avec i1 = 4, on a Z1 + Z2 = 120, d’où Z1 = 24 et Z2 = 96. Pour le deuxième étage, au module 1,5 avec i2 = 3, on a Z3 + Z4 = 80, d’où Z3 = 20 et Z4 = 60. Le contrôle donne (96 × 60) / (24 × 20) = 5 760 / 480 = 12. C’est le second étage qui reçoit le module le plus fort, car il transmet un couple quatre fois plus élevé. Avec deux contacts extérieurs, le sens de rotation est inversé deux fois : la sortie tourne donc dans le même sens que l’entrée. Une roue intermédiaire (ou roue folle) inverse le sens et allonge l’entraxe disponible sans changer le rapport.
Entraxe de fonctionnement, déport de denture et tolérances
Les formules précédentes donnent l’entraxe de référence a0, valable pour des dentures sans déport. L’entraxe de fonctionnement aw est celui que fixe réellement le carter. Lorsque aw diffère de a0, les roues engrènent sur de nouveaux cercles primitifs, dits de fonctionnement. L’angle de pression de fonctionnement αw change alors selon cos αw = a0 × cos α / aw.
Ajuster un entraxe non standard grâce au déport
Le déport consiste à décaler l’outil crémaillère d’une distance x × m lors du taillage par génération, x étant le coefficient de déport. Lorsque x > 0, l’outil s’éloigne du centre de la roue ; lorsque x < 0, il s’en rapproche. Si x1 + x2 = 0, l’entraxe reste égal à a0 : ce montage sert à éliminer l’interférence d’un petit pignon. Une somme non nulle modifie l’entraxe selon la relation exacte suivante :
inv αw = inv α + 2 tan α × (x1 + x2) / (Z1 + Z2), avec inv α = tan α – α (α en radians).
Pour de petits déports, l’approximation aw ≈ a0 + (x1 + x2) × m suffit en avant-projet.
Siderméca décrit un cas typique : la remise en état d’un réducteur au module 2, de rapport 1/3, avec une roue de 75 dents et un entraxe mesuré par palpage sur les logements de roulements à 100,80 mm. Un pignon de 25 dents donne a0 = 2 × (25 + 75) / 2 = 100 mm, soit 0,80 mm d’écart. L’approximation donne x1 + x2 = 0,80 / 2 = 0,40. Le calcul exact se déroule ainsi : cos αw = 100 × 0,9397 / 100,8 = 0,9322, d’où αw = 21,21° et inv αw = 0,01789. Avec inv 20° = 0,01490, on obtient x1 + x2 = 100 × 0,00299 / (2 × 0,3640) = 0,41. Tout le déport est reporté sur le pignon, dont le diamètre extérieur passe d’environ 54 mm à 55,6 mm.
Ce choix répond à une règle précise. Un déport positif épaissit la dent au primitif et la renforce, tandis qu’un déport négatif l’affine. On réserve donc le déport négatif à la roue, dont le grand nombre de dents tolère mieux l’amincissement. Le coefficient reste compris entre -1 et +1.
Tolérances d’entraxe et jeu entre dents selon la norme DIN 3964
Un écart d’entraxe Δa se répercute directement sur le jeu entre dents. Le jeu normal varie d’environ jn ≈ 2 × Δa × sin α, et le jeu circonférentiel de 2 × Δa × tan α. À α = 20°, un entraxe trop grand de 0,05 mm ajoute 0,034 mm de jeu normal. Pour les roues taillées à la fraise, Siderméca recommande un jeu de fonctionnement de 0,025 × m, soit 0,05 mm au module 2. Une erreur d’entraxe de 0,073 mm suffit donc à doubler ce jeu.
Les deux sens d’écart ont des effets distincts. Un entraxe trop grand laisse les dents se heurter à chaque inversion de couple, réduit la longueur de contact et déplace la portée vers le sommet des dents : le bruit d’engrènement augmente. Trop court, l’entraxe consomme le jeu et met les deux flancs en contact. Le film d’huile est alors chassé, ce qui conduit à l’échauffement puis au grippage.
La norme DIN 3964 fixe les écarts admissibles d’entraxe et de parallélisme des axes du carter, sous forme de champs de tolérance symétriques choisis selon la qualité de denture. Le jeu final résulte de la combinaison de ces écarts avec les écarts d’épaisseur de dent définis par la norme DIN 3967. La dilatation thermique compte aussi. Prenons un carter en aluminium (environ 23 × 10⁻⁶ /K) et des roues en acier (environ 12 × 10⁻⁶ /K) : à 100 mm d’entraxe, l’écart de dilatation ouvre l’entraxe de 0,055 mm pour un échauffement de 50 K. Sur les réducteurs bruyants que j’ai eu à examiner, un défaut de parallélisme des alésages pesait souvent davantage que la cote d’entraxe elle-même.
Tableau récapitulatif des formules et modules normalisés
| Grandeur | Denture droite | Denture hélicoïdale |
|---|---|---|
| Diamètre primitif | d = m × Z | d = mn × Z / cos β |
| Module apparent | mt = m | mt = mn / cos β |
| Entraxe extérieur | a = m (Z1 + Z2) / 2 | a = mn (Z1 + Z2) / (2 cos β) |
| Entraxe intérieur | a = m (Z2 – Z1) / 2 | a = mn (Z2 – Z1) / (2 cos β) |
| Diamètre extérieur | da = m (Z + 2) | da = d + 2 mn |
| Pas | p = π × m | pn = π × mn |
| Calcul inverse | Z1 + Z2 = 2a / m | Z1 + Z2 = 2a cos β / mn |
| Rapport | i = Z2 / Z1 | i = Z2 / Z1 |
Les modules normalisés sont définis par la norme ISO 54. La série 1 est à privilégier, et la série 2 sert en complément.
| Domaine | Série 1 (mm) | Série 2 (mm) |
|---|---|---|
| Petits modules | 0,5 · 0,6 · 0,8 · 1 | 0,55 · 0,7 · 0,9 |
| Mécanique générale | 1,25 · 1,5 · 2 · 2,5 · 3 · 4 | 1,125 · 1,375 · 1,75 · 2,25 · 2,75 · 3,5 |
| Forte puissance | 5 · 6 · 8 · 10 · 12 | 4,5 · 5,5 · 7 · 9 · 11 |
| Très gros modules | 16 · 20 · 25 · 32 · 40 · 50 | 14 · 18 · 22 · 28 · 36 · 45 |
Pour votre prochain calcul, partez de l’entraxe imposé et prenez un module de la série 1. Vérifiez ensuite que 2a / m tombe sur un entier et que le pignon compte au moins 17 dents avant de coter les alésages. Si ce n’est pas le cas, passez à une denture hélicoïdale ou prévoyez un déport.
FAQ
Qu’est-ce que le rapport d’engrenage ?
Le rapport d’engrenage, ou rapport de transmission, compare la vitesse de la roue menante à celle de la roue menée : i = ω1 / ω2 = Z2 / Z1. Avec un pignon de 18 dents qui entraîne une roue de 45 dents, i = 2,5. La roue tourne alors 2,5 fois moins vite et transmet un couple 2,5 fois plus élevé, pertes déduites. Dans un train à plusieurs étages, les rapports de chaque étage se multiplient.
Comment calculer le nombre de dents sur un pignon ?
Si le diamètre primitif et le module sont connus, Z = d / m. À partir du diamètre extérieur mesuré, Z = da / m – 2 : un pignon de 40 mm au module 2 compte ainsi 18 dents. Avec un entraxe et un rapport imposés, on calcule Z1 = 2a / (m × (1 + i)), puis on arrondit à l’entier et on vérifie le résultat. En denture droite à 20°, visez au moins 17 dents ou prévoyez un déport.
Quelles sont les caractéristiques d’une roue dentée ?
Une roue dentée se définit par son module m, son nombre de dents Z, son angle de pression α (20° selon DIN 867) et sa largeur de denture. Pour une denture hélicoïdale, il faut y ajouter l’angle et le sens d’hélice. S’y ajoutent aussi le coefficient de déport x et la qualité de denture, qui fixe les écarts admissibles de profil, de pas et de faux-rond. Le diamètre primitif d = m × Z se déduit du module et du nombre de dents.
Comment reconnaître l’entrée et la sortie de deux engrenages ?
L’entrée est la roue menante, solidaire de l’arbre moteur ; la sortie est la roue menée, reliée au récepteur. Dans un réducteur, le pignon (la roue au plus petit nombre de dents) est généralement menant. La roue de sortie tourne plus lentement, sur un arbre de plus fort diamètre puisqu’il transmet un couple supérieur. Un multiplicateur inverse cette disposition. Le sens de rotation s’inverse à chaque contact extérieur.
Que se passe-t-il si l’entraxe réel est différent de l’entraxe théorique ?
Un entraxe plus grand augmente le jeu d’environ 2 × Δa × sin α, raccourcit la conduite et rend l’engrènement bruyant, surtout aux inversions de couple. Un entraxe plus court supprime le jeu et provoque échauffement, grippage, voire blocage. Si l’écart est connu à l’avance, comme sur un carter à rénover, mesurez l’entraxe par palpage des logements de roulements. Calculez ensuite le déport qui permet aux roues d’engrener correctement à cette cote.
Ingénieur en physique appliquée de 35 ans, je combine rigueur scientifique et passion pour la communication. Rédacteur scientifique, j’aime rendre accessibles des concepts complexes à un large public.
