Rendement d’un engrenage : pertes par frottement et calcul

Un couple pignon-roue cylindrique taillé en qualité 7 et bien lubrifié ne perd que 1 à 2 % de sa puissance à l’engrènement, d’où la valeur de 0,98 à 0,99 retenue en avant-projet. Ce chiffre ne concerne que la denture. Le rendement global η = Ps / Pe d’un réducteur complet descend plus bas une fois comptés les paliers, les joints et le bain d’huile : il atteint 86 à 88 % pour une vis sans fin à deux filets en régime, et environ 50 % au démarrage. L’écart dépend du nombre de dents, du type de guidage et du point de fonctionnement. La méthode détaillée ici, avec un exemple chiffré en unités SI, vous permet de remplacer une valeur forfaitaire par une estimation défendable.

En bref

• La puissance dissipée vaut Pe × (1 − η) : sur 1,5 kW à 97 %, comptez environ 45 W de chaleur à évacuer.
• Pour un train de n étages, le rendement global est le produit des rendements d’étage : deux étages à 0,98 donnent environ 0,96.
• Une bague en bronze peut dissiper à elle seule 20 à 30 W, soit plus que la denture sur un petit boîtier.
• Un réducteur roue et vis passe d’environ 90 % au rapport 20/1 à environ 75 % au rapport 90/1.
• Le rapport de transmission fixe les vitesses et les couples, et ne renseigne pas sur les pertes.

Rendement d’un engrenage : définition et formule de base

Puissance d’entrée, puissance de sortie et rendement η

Le rendement se calcule comme le quotient de la puissance de sortie par la puissance d’entrée : η = Ps / Pe. C’est une grandeur sans dimension, comprise entre 0 et 1. Les deux puissances s’expriment en watts et se mesurent sur les arbres, en régime établi. La différence Pe − Ps ne disparaît pas. Elle part en chaleur dans les dentures, les paliers et l’huile, puis traverse le carter vers l’air ambiant. Sur un réducteur de 2 kW à 95 %, il faut évacuer 100 W en continu.

Deux grandeurs se confondent souvent dans les fiches techniques. Le rendement d’engrènement ne compte que le frottement entre les flancs des dents. Le rendement global du réducteur ajoute les paliers, les joints et le brassage d’huile. Le premier se calcule à partir de la géométrie et d’un coefficient de frottement. Le second se mesure au banc, avec un couplemètre et un capteur de vitesse sur chaque arbre.

Lien entre couple, vitesse et rapport de transmission

Sur un arbre, la puissance vaut P = C × ω, avec C en N·m et ω en rad/s (ω = 2π × N / 60 si N est en tr/min). Le rapport de transmission r = ωs / ωe dépend uniquement des nombres de dents. Pour un couple pignon-roue extérieur, r = Z1 / Z2 en valeur absolue. Le rapport de réduction est son inverse : k = Z2 / Z1. Un pignon de 8 dents menant une roue de 56 dents donne k = 7, et la sortie tourne sept fois moins vite.

En combinant ces relations, vous obtenez Cs = Ce × k × η. Un réducteur sans pertes multiplierait le couple par k. Un réducteur réel le multiplie par k × η. Le rapport découle de la cinématique et reste exact tant que les dents ne sautent pas. Le rendement traduit les pertes et varie avec la charge, la vitesse et la température. Écrire qu’un réducteur 7:1 a « un rendement de 7 » relève donc d’une confusion de catégorie, fréquente dans les calculs d’étudiants.

D’où viennent les pertes par frottement dans un engrenage

Glissement des dentures et coefficient de frottement

Deux profils en développante roulent et glissent en même temps l’un sur l’autre. Le glissement est nul au point primitif. Il croît linéairement à mesure que le contact s’en éloigne, vers la tête ou vers le pied de la dent. La force de frottement vaut μ × Fn, et la puissance perdue s’obtient en multipliant cette force par la vitesse de glissement, le long de la ligne d’action. Trois paramètres pilotent la perte : le coefficient de frottement μ, qui dépend du lubrifiant, de la rugosité et de la vitesse ; la longueur de contact de part et d’autre du point primitif ; le nombre de dents, qui fixe cette longueur rapportée au pas.

L’angle de pression, normalisé à 20° (14°30′ et 22°30′ ont longtemps coexisté), agit surtout indirectement. Il incline l’effort de contact et charge davantage les paliers. L’angle d’hélice β d’une denture hélicoïdale répartit le contact sur plusieurs dents et rend l’engrènement plus progressif. Il crée en contrepartie un effort axial Fa = Ft × tan β que les roulements doivent reprendre.

Paliers, bagues, joints et barbotage d’huile

Sur un petit boîtier, les pertes hors denture dépassent souvent celles de l’engrènement. Un échange technique sur le forum de Futura-Sciences en donne un ordre de grandeur : une bague en bronze autolubrifiante sur un arbre en acier, avec un coefficient de frottement voisin de 0,12, dissipe facilement 20 à 30 W. Quatre bagues sur deux arbres pèsent alors plus lourd que la denture. Les postes à examiner sont les suivants :

• paliers lisses : la perte croît avec le diamètre de l’arbre, la charge radiale et la vitesse ;
• roulements : pertes bien plus faibles, sensibles à la précharge et à la graisse ;
• joints à lèvre : frottement quasi constant, quel que soit le couple transmis ;
• barbotage : l’huile brassée par les roues absorbe une puissance qui augmente avec la vitesse et la profondeur d’immersion.

Les trois derniers postes varient peu avec le couple. Leur part relative grimpe à charge partielle.

Valeurs usuelles de rendement selon le type d’engrenage

Les valeurs du tableau suivant ne valent que dans les conditions indiquées. Hors de ces conditions, elles donnent un ordre de grandeur.

Type d’engrenage	Rendement typique	Conditions
Droit ou hélicoïdal, un étage	98 à 99 %	avant-projet, denture qualité 7, engrènement seul
Engrenage correctement réalisé	plus de 95 %	valeur pédagogique générale
Vis sans fin 2 filets, roue 32 dents	86 à 88 %	2 950 tr/min, glissement 7,8 m/s, acier cémenté sur bronze
Même vis sans fin au démarrage	environ 50 %	μ statique de 0,145
Réducteur roue et vis, rapport 20/1	environ 90 %	rendement global catalogue
Réducteur roue et vis, rapport 90/1	environ 75 %	rendement global catalogue
Réducteur à vis, entraxe 315 mm, rapport 10,25	94 à 96 %	mesures au banc, 300 à 1 200 tr/min

Engrenages droits et hélicoïdaux

Pour une denture extérieure à 20° en régime lubrifié, une approximation classique de premier ordre relie la perte d’engrènement au frottement et aux nombres de dents :

1 − η ≈ π × μ × (1/Z1 + 1/Z2)

Pour une denture intérieure, le second terme change de signe, ce qui explique le très bon rendement d’engrènement des couples à couronne intérieure. L’approximation suppose un rapport de conduite voisin de 1,5 et un μ constant sur tout le profil. La forme exacte, qui intègre le glissement sur chaque segment de la ligne d’action, figure dans le tome 1 du traité de Henriot consacré à la théorie des engrenages.

Prenons comme hypothèse μ = 0,06 pour des dentures en acier rectifiées sous huile. Un couple 20/60 donne 1 − η ≈ 0,188 × (0,050 + 0,017) ≈ 0,013, soit environ 98,7 %. Avec μ = 0,08, le résultat tombe à 98,3 %. La fourchette de 98 à 99 % utilisée en avant-projet correspond bien à ce calcul, pour la seule denture. Pour un engrenage hélicoïdal, la perte d’engrènement reste du même ordre. Le surcoût vient de la butée qui reprend l’effort axial.

Engrenage à vis sans fin : formule et rendement au démarrage

Quand la vis est motrice, le rendement d’engrènement vaut η = (cos φn − μ × tan λ) / (cos φn + μ / tan λ), avec φn l’angle de pression normal et λ l’angle d’hélice de la vis. Ce dernier se calcule par tan λ = L / (π × d1), où L est le pas axial multiplié par le nombre de filets et d1 le diamètre primitif. Le coefficient μ dépend de la vitesse de glissement vg = π × d1 × N1 / (60 000 × cos λ), en m/s avec d1 en mm et N1 en tr/min.

Prenons une vis à deux filets, module 4, d1 = 50 mm, tournant à 2 950 tr/min. On obtient tan λ = 8 / 50, soit λ ≈ 9,09°, et vg ≈ 7,8 m/s. Les valeurs de la norme BS 721 pour une vis cémentée sur roue en bronze phosphoreux donnent μ ≈ 0,020 à 8 m/s, d’où η ≈ 0,88. Une courbe de frottement publiée pour ce même couple de matériaux donne 0,024, d’où η ≈ 0,86. Retenez 86 à 88 %, sans décimale.

Au démarrage, μ remonte à 0,145 et η chute vers 0,50. Quand la roue devient motrice, le rendement inverse s’écrit η’ = (cos φn − μ / tan λ) / (cos φn + μ × tan λ). Il s’annule dès que tan λ ≤ μ / cos φn : la transmission devient irréversible. Dans cet exemple, η’ vaut environ 0,04 à l’arrêt mais 0,84 en mouvement. Le réducteur ne revient pas seul en arrière à l’arrêt, alors qu’il peut dériver sous vibrations. Le fabricant SNT indique qu’un réducteur roue et vis devient statiquement irréversible au-delà d’un rapport 40/1, et recommande de vérifier séparément l’irréversibilité dynamique.

Calculer le rendement d’un train d’engrenages pas à pas

Rendement global d’un réducteur à plusieurs étages

Chaque étage transmet au suivant la puissance qu’il n’a pas dissipée. Le rendement global d’un train d’engrenages est donc le produit des rendements d’étage : ηg = η1 × η2 × … × ηn. Le rapport de réduction global suit la même règle multiplicative, kg = k1 × k2 × … × kn. Deux étages 56/8 et 40/5 donnent par exemple 7 × 8 = 56.

Fixez une convention avant de multiplier. Soit chaque η d’étage inclut ses propres roulements, soit vous traitez les paliers à part. Mélanger les deux revient à compter deux fois les roulements des arbres intermédiaires, ou à les oublier. Pour les pertes quasi indépendantes de la charge (joints, barbotage, bagues), raisonnez en watts plutôt qu’en pourcentage : Ps = ηg × Pe − Pconstantes.

Récapitulatif des formules (unités SI)

• Puissance sur un arbre : P = C × ω (P en W, C en N·m, ω en rad/s), avec ω = 2π × N / 60 (N en tr/min)
• Rendement : η = Ps / Pe, sans unité
• Rapport de transmission : r = ωs / ωe = produit des Z menantes / produit des Z menées ; rapport de réduction k = 1 / r
• Couple de sortie : Cs = Ce × k × η
• Rendement global : ηg = η1 × η2 × … × ηn
• Puissance dissipée : Pd = Pe × (1 − η), en W
• Engrènement extérieur (approximation) : 1 − η ≈ π × μ × (1/Z1 + 1/Z2)
• Vis motrice : η = (cos φn − μ × tan λ) / (cos φn + μ / tan λ)
• Roue motrice : η’ = (cos φn − μ / tan λ) / (cos φn + μ × tan λ)

Exemple chiffré : couple de sortie et puissance dissipée

Un moteur de 1,5 kW tourne à 1 450 tr/min. Il entraîne un réducteur à engrenages droits à deux étages : 18/63 (k1 = 3,5) puis 20/80 (k2 = 4), soit kg = 14 et une sortie à environ 104 tr/min.

La vitesse d’entrée vaut ωe = 2π × 1 450 / 60 ≈ 151,8 rad/s. Le couple d’entrée est Ce = 1 500 / 151,8 ≈ 9,9 N·m. Sans pertes, le couple de sortie atteindrait 9,9 × 14 ≈ 138 N·m. Avec des étages sur roulements à 0,98 à 0,99, ηg vaut 0,96 à 0,98. La puissance de sortie se situe alors entre 1 440 et 1 470 W, et la puissance dissipée entre 30 et 60 W. Avec ωs ≈ 10,85 rad/s, le couple de sortie atteint 133 à 136 N·m.

Remplacez maintenant les roulements par quatre bagues en bronze. Avec 20 à 30 W par bague, il faut ajouter 80 à 120 W. La puissance dissipée monte à 110 à 180 W, le rendement global tombe vers 88 à 93 %, et le couple de sortie à 122 à 128 N·m.

L’échauffement suit la puissance dissipée. En régime établi, Pd = h × S × ΔT, avec S la surface d’échange du carter en m², h le coefficient d’échange en W/(m²·K) donné par le constructeur et ΔT l’écart entre l’huile et l’air ambiant. À carter et ventilation identiques, passer de 45 W à 145 W multiplie ΔT par plus de trois. C’est souvent ce critère thermique, avant la résistance des dents, qui condamne un guidage par bagues.

Nombre de dents, angle de pression et nombre d’étages : leur effet sur le rendement

Le nombre de dents du pignon gouverne la perte d’engrènement à travers le terme 1/Z1. Un petit pignon allonge le glissement relatif de chaque contact, et un grand rapport par étage impose justement un petit pignon. Au-dessous de 17 dents environ à 20°, une denture non corrigée subit en plus une interférence de taillage, qui oblige à déporter le profil.

Comparez deux réducteurs de rapport global 36, avec l’hypothèse μ = 0,06. En deux étages 12/72, chaque étage perd environ 1,8 %, soit 3,6 % à l’engrènement au total. En trois étages 24/79, chaque étage perd environ 1 %, soit 3,0 % au total. Les trois étages gagnent 0,6 point à la denture. Ils ajoutent cependant un arbre, deux roulements et une roue de plus dans le bain d’huile. Sur 1,5 kW, l’avantage ne tient que si ces organes supplémentaires dissipent moins de 9 W environ. Avec de très petits pignons, de 10 ou 11 dents, le gain du troisième étage devient net, et deux étages à grand rapport peuvent alors faire moins bien que trois.

L’angle de pression joue sur les paliers. L’effort radial vaut Fr = Ft × tan α : 0,36 × Ft à 20°, puis 0,47 × Ft à 25°, soit 28 % de charge radiale en plus. Sur roulements, la différence de rendement reste faible. Sur bagues lisses, la perte par frottement croît avec cette charge. Un passage de 20° à 25° pour gagner en capacité de couple se paie donc en rendement.

L’angle d’hélice suit une logique comparable. À 20° d’hélice, l’effort axial atteint environ 0,36 × Ft, que la butée transforme en pertes.

Rendement calculé ou mesuré : charge, vitesse et rodage

Le rendement mesuré au banc sur un réducteur neuf est presque toujours inférieur au rendement d’engrènement calculé. Les essais menés au FZG sur un réducteur à vis d’entraxe 315 mm et de rapport 10,25 l’illustrent :

• à couple réduit, le rendement a perdu 0,1 à 0,7 point, car les pertes constantes pèsent davantage ;
• à 300 tr/min, il est descendu à 94,0 à 94,5 %, contre environ 96 % à 1 200 tr/min, le film d’huile étant plus mince à basse vitesse.

Le rodage modifie aussi le résultat. Les flancs en bronze s’adaptent à la vis pendant les 10 à 100 premières heures, et le rendement progresse pendant cette période. Au démarrage, le frottement statique domine.

Dans les dépouillements de mesures que j’ai eu à analyser, l’écart provenait le plus souvent d’un essai réalisé à froid, à mi-charge. Mesurez à couple et vitesse nominaux, à température de fonctionnement, après rodage.

Comment améliorer le rendement d’une transmission par engrenages

Commencez par le guidage. Remplacer des bagues lisses par des roulements supprime souvent la plus grosse perte d’un petit réducteur, avant même toute retouche de la denture. Sur la denture, privilégiez des pignons d’au moins 17 à 20 dents et une qualité de taillage élevée : l’avant-projet à 98 à 99 % suppose une denture de qualité 7. Évitez de monter l’angle de pression sans nécessité.

Côté lubrification, ajustez le niveau d’huile au strict nécessaire pour limiter les pertes par barbotage. Choisissez une viscosité adaptée à la vitesse de glissement. Pour une vis sans fin, un rapport modéré et un angle d’hélice plus grand améliorent nettement le rendement, au prix de la réversibilité.

L’étape suivante consiste à relever les nombres de dents, les vitesses et le type de guidage de votre réducteur, puis à faire un bilan poste par poste en watts avec les formules du récapitulatif. Comparez ensuite ce bilan à une mesure de couple et de vitesse en charge nominale. Pour la géométrie détaillée de la développante, le cours d’engrenages de l’INSA Rouen et le traité de Henriot sont de bons points d’appui.

FAQ

Quelle est la formule pour calculer le rendement d’un engrenage ?

Le rendement vaut η = Ps / Pe, avec les puissances en watts et P = C × ω sur chaque arbre. Pour estimer la seule perte d’engrènement d’un couple extérieur à 20°, une approximation de premier ordre donne 1 − η ≈ π × μ × (1/Z1 + 1/Z2). Avec μ = 0,06 et un couple 20/60, vous obtenez environ 98,7 %, hors paliers et lubrification.

Comment calculer le rendement mécanique d’un réducteur ?

Mesurez le couple et la vitesse sur l’arbre d’entrée et sur l’arbre de sortie, puis calculez η = (Cs × ωs) / (Ce × ωe). Par le calcul, multipliez les rendements d’engrènement des étages, puis retranchez en watts les pertes des paliers, des joints et du barbotage. Faites la mesure à charge nominale, à chaud et après rodage.

Quelle est la formule du rapport d’engrenage ?

Pour un couple pignon-roue, le rapport de réduction vaut k = Z2 / Z1 = N1 / N2, et le rapport de transmission r = 1 / k. Pour un train d’engrenages, multipliez les rapports de chaque étage. Le couple de sortie vaut Ce × k × η : le rapport fixe la multiplication du couple, et le rendement indique la part perdue en chaleur.

Quel est le rendement d’un engrenage à denture droite ?

En avant-projet, on retient 0,98 à 0,99 par étage pour une denture droite de qualité 7, bien lubrifiée et montée sur roulements. Cette valeur baisse avec un petit pignon, un guidage par bagues lisses ou une charge partielle. Sur un petit boîtier à bagues en bronze, le rendement global peut tomber sous 90 %.

Pourquoi le rendement d’une vis sans fin est-il plus faible ?

Le contact entre la vis et la roue est un glissement quasi pur, à une vitesse de plusieurs mètres par seconde. Plus l’angle d’hélice est petit, donc plus le rapport est grand, plus le frottement pèse. On passe ainsi d’environ 90 % à 20/1 à environ 75 % à 90/1, et vers 50 % au démarrage.

Comment calculer le rendement global d’un train d’engrenages ?

Multipliez les rendements des étages : ηg = η1 × η2 × … × ηn. Deux étages à 0,98 donnent environ 0,96, trois étages environ 0,94. Ajoutez ensuite en watts les pertes qui ne dépendent pas de la charge, comme les joints et le barbotage. Annoncez le résultat sous forme de fourchette, par exemple 96 à 98 %.